T04 Tutorial 4：三道概率手算加一道 Monty Hall，考的是哪一步用了独立性
链式法则怎么拆、贝叶斯网络的联合概率怎么连乘、分母从哪来，以及换门胜率为什么是 2/3 而非 1/2。
一句话版
这份 tutorial 是上一讲概率工具的手算课：三道练习题各练一个公式，一道讨论题把贝叶斯公式用在 Monty Hall 上。每题只有一步关键推理，失分几乎全在「这一步凭什么可以用独立性」没写出来。
题目地图
十六页，三道练习题加一道讨论题，公式全部来自 Lecture 3 p.12–27。
| 页 | 题目 | 考什么 | 主要失分点 |
|---|---|---|---|
| p.4–5 | 三个事件求 P(A,B,C) | 链式法则 + 独立性替换 | 把「条件独立」当成有条件变量去找 |
| p.6–8 | 三节点贝叶斯网络求 P(C,E|¬T) 和 P(E,T,C) | 联合概率分解、根节点独立 | P(E|¬T) = P(E) 这步不写理由 |
| p.9–10 | 由联合分布表求 P(A|B) | 边缘化求分母 | 分母只取了一行 |
| p.12–15 | Monty Hall 换门胜率 | 贝叶斯公式的似然项 | 数叶子得 1/2 |
四题的答案依次是 0.024、0.07 与 0.336、0.2、2/3。数字本身不重要，每个数背后那一步「为什么能这样拆」才是评分点。
概念卡
1. 链式法则与独立性替换（Chain Rule）
人话定义：多个事件同时发生的概率，可以一层层剥开写成「后一个在前面全部发生的条件下的概率」连乘；题目给的独立性用来把其中某一项换成更简单的量。
例子：P(A,B,C) = P(C|A,B)·P(A|B)·P(B)。p.4 说 C 与 AB 独立，于是 P(C|A,B) = P(C) = 0.4，再乘 P(A|B) = 0.3 和 P(B) = 0.2，得 0.024（p.5）。答题模板是三行：写一般形式，写「由题意 C ⊥ AB」，代数。
常见误解
看到题面「conditionally independent」就去找条件变量 → 这句话里没有条件变量，题意是 C 与联合事件 AB（无条件）独立。真正的条件独立是 P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)，那是另一件事，两者互不蕴含（p.4）。另一处是顺手假设 A 与 B 也独立：题目没给，也算不出 P(A)，好在本题不需要（p.4）。
2. 贝叶斯网络的联合概率（Joint Probability in BBN）
人话定义：网络里全部变量同时取某组值的概率，等于每个节点「在它父节点取值下」的那一格条件概率连乘；根节点没有父节点，直接用先验。
例子：p.6 的网络是 E → C ← T。P(E,T,C) = P(E)·P(T)·P(C|E,T) = 0.7 × 0.8 × 0.6 = 0.336（p.8）。带条件的联合也一样拆：P(C,E|¬T) = P(C|E,¬T)·P(E|¬T)，然后 P(E|¬T) = P(E) = 0.7，得 0.1 × 0.7 = 0.07（p.7）。
常见误解
把 P(E|¬T) 换成 P(E) 时不写理由 → 这是本题唯一的推理点。E、T 是汇聚连接的两个父节点，子节点 C 未观测时才独立；若题目改成已知 C，两者通过 C 产生依赖，这一步就不能用（p.7）。另一处是 P(C,E|¬T) 里把 ¬T 对应的先验 P(¬T) = 0.2 也乘进去：条件概率的分母已经把 ¬T 除掉了，再乘一次就重复了（p.7）。
3. 从联合分布表求条件概率（Marginalization）
人话定义：P(A|B) = P(A,B) / P(B)，分子在表里直接查，分母把「B 为真」的所有行加起来。
例子：p.9 的表里 P(A,B) = 0.1，B 为真的两行是 0.1 和 0.4，所以 P(B) = 0.5，P(A|B) = 0.1 / 0.5 = 0.2（p.10）。顺手可以验：P(B|A) = 0.1 / (0.1 + 0.3) = 0.25；P(A)P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2 ≠ 0.1，所以 A、B 不独立。
常见误解
分母只取了 P(A,B) 那一行 → 那样算出来永远是 1。分母是 B 的边缘概率，要把 B = T 的每一行都加上（p.10）。另一处是被课件第一步 p(A|B) = P(A,B|B) 绕晕：它是恒等式（A∩B∩B 还是 A∩B），只是多走了一步，从定义式直接起手即可（p.10）。
4. 似然决定后验（Likelihood in Bayes’ Rule）
人话定义：贝叶斯公式里后验 ∝ 似然 × 先验。几个假设的先验相同时，谁的似然大，谁的后验就大，比例完全由似然决定。
例子：Monty Hall 里三个假设 C₁、C₂、C₃ 先验都是 1/3。观测到「主持人开 3 号门」，似然分别是 1/2、1、0，所以 P(C₂|H₃,X₁) = (1/3 × 1) / (1/2) = 2/3，P(C₁|H₃,X₁) = (1/3 × 1/2) / (1/2) = 1/3（p.14）。分母 P(H₃|X₁) = 1/2 由全概率公式得到：(1/2 + 1 + 0) × 1/3。
常见误解
把主持人开门当成无信息的随机事件 → 那样三个似然相等，后验退回 1/2 对 1/2。主持人知道车在哪、只开羊门、不开你选的门，这些规则让 P(H₃|C₂,X₁) = 1 而 P(H₃|C₁,X₁) = 1/2，差的这一倍就是 2/3 的来源（p.13）。
逐题拆解
p.4–5 三事件联合概率。三句题面翻成三个数：P(A|B) = 3/10 = 0.3，P(B) = 0.2，P(C) = 0.4；第三句「C 与 AB 条件独立」读作 P(C|A,B) = P(C)。链式法则 P(A,B,C) = P(C|A,B)·P(A|B)·P(B)，替换第一项后 0.4 × 0.3 × 0.2 = 0.024。课件把乘法顺序写成 P(A|B)·P(B)·P(C)，结果相同。
p.6–8 三节点贝叶斯网络。两个查询走的是同一张表，但用到的格子不一样。
P(E,T,C) 是全部变量的联合，三个节点各取一格：P(E) = 0.7、P(T) = 0.8、P(C|E,T) = 0.6，乘起来 0.336。P(C,E|¬T) 是带条件的联合，把 ¬T 当成背景，先对 C、E 用一次乘法法则 P(C|E,¬T)·P(E|¬T)，再用「E、T 是根节点、C 未观测」把 P(E|¬T) 换成 P(E)，得 0.1 × 0.7 = 0.07。另一条路验算：P(C,E,¬T) / P(¬T) = (0.7 × 0.2 × 0.1) / 0.2 = 0.07，一致。这张表还有个小细节：P(C|E,¬T) 和 P(C|¬E,¬T) 都是 0.1，说明 T 为假时 C 与 E 无关，所以 P(E|C,¬T) = 0.07 / 0.1 = 0.7 = P(E)，数字上和「先验」撞在一起，属于巧合。
p.9–10 联合分布表。四行相加等于 1，是合法的联合分布。P(A|B) = P(A,B) / P(B)，分子查表 0.1，分母把 B = T 的两行相加 0.1 + 0.4 = 0.5，答案 0.2。整题只有「分母要加两行」一个动作。
p.12–15 Monty Hall。题面的隐含规则先写下来：主持人知道车在哪，一定开一扇羊门，不开你选的门，两扇羊门可选时随机。事件定义 Cᵢ 车在 i 号门、Xᵢ 玩家选 i 号门、Hᵢ 主持人开 i 号门；本题 X₁ 与 H₃。三个似然 P(H₃|C₁,X₁) = 1/2、P(H₃|C₂,X₁) = 1、P(H₃|C₃,X₁) = 0 是整题核心。贝叶斯公式：P(C₂|H₃,X₁) = P(H₃|C₂,X₁)·P(C₂,X₁) / P(H₃,X₁) = P(C₂)P(X₁) / [P(H₃|X₁)P(X₁)] = (1/3) / (1/2) = 2/3。第三步同时用了 P(H₃|C₂,X₁) = 1 和玩家选择与车位独立两件事，P(X₁) 上下约掉。
p.15 那张 YouTube 截图的概率树画了全部 12 片叶子，6 片洋红（换门得车）、6 片白（换门得羊）。数叶子会得到 6/12 = 1/2，错在叶子权重不同：经过 1/2 分岔的叶子各重 1/18，没分岔的各重 1/9，换门赢的 6 片全是 1/9，合计 2/3。一句话理解：换门策略等价于「第一次选错就赢」，第一次选错的概率是 2/3。
课件里的坑
- [课件留白] p.4 的「C is conditionally independent with AB」用词不严谨，「条件独立」需要一个条件变量而这里没有。按 p.5 的解法反推，题意是 C 与联合事件 AB 独立。考试遇到同样措辞按 P(C|A,B) = P(C) 处理（p.4）。
- [课件留白] p.7 的答案只写了 p(E|not T) = p(E)，没说理由。理由是 E、T 都是根节点、C 未观测，属于汇聚连接的性质；这句话是本题的得分点，答题时要写（p.7）。
- [课件留白] p.13 的 P(H₃|X₁) = 1/2 当作已知直接给出，其实要用全概率公式推：Σᵢ P(H₃|Cᵢ,X₁)·P(Cᵢ) = (1/2)(1/3) + (1)(1/3) + (0)(1/3)。考试不一定给这个数（p.13）。
- [课件留白] p.13 写 P(Cᵢ,Xᵢ) = P(Cᵢ)P(Xᵢ) 两边用同一个下标，p.14 实际用的是 P(C₂,X₁) = P(C₂)P(X₁)。应读作对任意 i、j 都成立：玩家的选择与车的位置独立（p.13）。
- [课件留白] p.13 那句 “Consider the event Cᵢ … takes value Xᵢ … and value Hᵢ” 文法不通，是 Wikipedia 原文压缩后的产物。Cᵢ、Xᵢ、Hᵢ 是三个各自独立定义的事件，别读成「Cᵢ 取值 Xᵢ」（p.13）。
- [补充] p.15 的树是黑底视频截图，12 片叶子的权重图上没标。自己补上 1/9 与 1/18 再求和，才能和 p.14 的 2/3 对上（p.15）。
课后 10 分钟：考点复习
这 10 分钟怎么用：合上页面，先默写三条——链式法则的一般形式、贝叶斯网络联合概率的连乘规则、Monty Hall 的三个似然；再把下面的变式题做一遍；最后回查两处最容易错的地方——P(E|¬T) = P(E) 的理由有没有写、分母是不是加了全部相关行。三步做完再往下看答案。
必背
- 多事件联合概率先写链式法则 P(A,B,C) = P(C|A,B)·P(A|B)·P(B)，再用题给的独立性替换其中一项，不能一上来就三数相乘。
- 题面里「C 与 AB 条件独立」的实际含义是 C 与联合事件 AB 独立，即 P(C|A,B) = P(C)；它没有说 A 与 B 独立。
- 贝叶斯网络的联合概率等于每个节点在其父节点下的条件概率连乘：P(E,T,C) = P(E)·P(T)·P(C|E,T)。
- 汇聚连接 E → C ← T 里，只要 C 未被观测，两个根节点 E、T 独立，所以 P(E|¬T) = P(E)；答题时必须写出这条理由。
- 从联合分布表求条件概率：分子直接查表，分母把条件为真的所有行相加，P(A|B) = P(A,B) / [P(A,B) + P(¬A,B)]。
- Monty Hall 的全部信息在似然里：P(H₃|C₁,X₁) = 1/2、P(H₃|C₂,X₁) = 1、P(H₃|C₃,X₁) = 0；先验相同时后验之比就是似然之比，换门 2/3。
- 概率树上不能数叶子，要按每片叶子的概率加权；换门赢的六片叶子各重 1/9，合计 2/3。
完整例题
p.6–8 那张网络完整走一遍，顺便把课件没算的 P(C) 也算出来。网络 E → C ← T，P(E) = 0.7，P(T) = 0.8，C 的表：P(C|E,T) = 0.6、P(C|¬E,T) = 0.2、P(C|E,¬T) = 0.1、P(C|¬E,¬T) = 0.1。
- P(E,T,C)：三个节点各取一格连乘，0.7 × 0.8 × 0.6 = 0.336。
- P(C,E|¬T)：先拆 P(C|E,¬T)·P(E|¬T)；写明「E、T 为根节点且 C 未观测，故 E ⊥ T，P(E|¬T) = P(E)」；代数 0.1 × 0.7 = 0.07。
- P(C)：对 E、T 四种组合求和。
| E | T | P(E)P(T) | P(C|E,T) | 乘积 |
|---|---|---|---|---|
| 真 | 真 | 0.7 × 0.8 = 0.56 | 0.6 | 0.336 |
| 假 | 真 | 0.3 × 0.8 = 0.24 | 0.2 | 0.048 |
| 真 | 假 | 0.7 × 0.2 = 0.14 | 0.1 | 0.014 |
| 假 | 假 | 0.3 × 0.2 = 0.06 | 0.1 | 0.006 |
四行相加 P(C) = 0.404。第一行就是第 1 问的 0.336，第三行除以 P(¬T) = 0.2 就是第 2 问的 0.07，三问共用一张表。
答题格式：每一步写「用了什么」——第 1 问用联合概率分解，第 2 问用乘法法则加根节点独立，第 3 问用全概率。只写数字不写规则，阅卷时看不出你是算出来的还是蒙的。
变式题（先自己做）
还是 p.6 那张网络和那张表。(1) 求 P(C,¬E|T)。(2) 求 P(E|C)。(3) 若题目改成「已知 C 发生」，还能不能写 P(E|¬T,C) = P(E)？说明理由。
提示
第 (1) 问和 p.7 同构，只是把 E 换成 ¬E、¬T 换成 T。第 (2) 问是 Lecture 3 p.27 的诊断推理：分子是 P(C,E)，分母是上面例题算出的 P(C)。第 (3) 问回想汇聚连接在子节点已知时会发生什么。
参考答案与自检（非官方评分标准）
自检要点：① 每个条件概率的分母有没有除对；② P(E|·) 换成 P(E) 之前有没有确认 C 未观测；③ P(E|C) 的分子要把 T 的两种取值都加上。
(1) P(C,¬E|T) = P(C|¬E,T)·P(¬E|T) = P(C|¬E,T)·P(¬E) = 0.2 × 0.3 = 0.06。
(2) P(C,E) = P(C|E,T)P(E)P(T) + P(C|E,¬T)P(E)P(¬T) = 0.336 + 0.014 = 0.35；P(E|C) = 0.35 / 0.404 ≈ 0.866。看到 C 发生之后对 E 的信念从 0.7 升到约 0.87，这就是诊断推理。
(3) 不能。C 已知时 E、T 通过 C 产生依赖（explaining away），P(E|¬T,C) 要老老实实算：P(E|¬T,C) = P(C,E|¬T) / P(C|¬T) = 0.07 / 0.1 = 0.7。这题数字上恰好又等于 P(E)，原因是表里 P(C|E,¬T) = P(C|¬E,¬T)，属于巧合；把 P(C|¬E,¬T) 改成 0.3 再算一次，结果就会偏离 0.7。
闪卡自测
1. P(A,B,C) 的链式法则一般形式是什么？p.4 用独立性替换了哪一项？
P(A,B,C) = P(C|A,B)·P(A|B)·P(B)。题给「C 与 AB 独立」把第一项换成 P(C)，得 0.4 × 0.3 × 0.2 = 0.024（p.5）。
2. p.4 的「conditionally independent with AB」应该怎么读？
读作 C 与联合事件 AB（无条件）独立，即 P(C|A,B) = P(C)。它没有条件变量，也没有说 A 与 B 独立（p.4）。
3. p.7 为什么可以写 P(E|¬T) = P(E)？什么时候不行？
E、T 是汇聚连接的两个父节点，子节点 C 未观测时独立。一旦 C 已知，两者通过 C 产生依赖，就不能这样换（p.7）。
4. 贝叶斯网络的联合概率 P(E,T,C) 怎么写？
每个节点在其父节点下的条件概率连乘：P(E)·P(T)·P(C|E,T) = 0.7 × 0.8 × 0.6 = 0.336（p.8）。
5. 由联合分布表求 P(A|B)，分母怎么来？
把 B 为真的所有行相加：P(B) = P(A,B) + P(¬A,B) = 0.1 + 0.4 = 0.5，于是 P(A|B) = 0.1 / 0.5 = 0.2（p.10）。
6. Monty Hall 里三个似然 P(H₃|Cᵢ,X₁) 分别是多少，为什么？
C₁ 时 1/2（车在你选的门后，主持人可开 2 或 3）；C₂ 时 1（只能开 3 号）；C₃ 时 0（不会开有车的门）（p.13）。
7. P(H₃|X₁) = 1/2 是怎么来的？
全概率公式：Σᵢ P(H₃|Cᵢ,X₁)·P(Cᵢ) = (1/2 + 1 + 0) × 1/3 = 1/2（p.13）。
8. p.15 的概率树为什么不能数叶子？
叶子权重不同：经过 1/2 分岔的各重 1/18，没分岔的各重 1/9。换门赢的 6 片全是 1/9，合计 2/3；数叶子会错得 1/2（p.15）。
下一步
先把变式题第 (2) 问在纸上重做一遍，分子分母各写清楚用了哪一行——诊断推理是 Lecture 3 p.27 的原题型，考试大概率换数再考。再把 p.6 的网络补上 Lecture 3 p.24 那个 L 节点，重算 P(E,T,C,L)，练一遍四变量的连乘。Monty Hall 可以换成四扇门再算一次换门胜率，检验自己用的是似然而非背下来的 2/3。下一讲进入机器学习（线性回归、梯度下降、偏差与方差），概率工具暂告一段落，贝叶斯公式在后面的分类器里还会回来。
下一讲的通俗笔记上完课会补，先回 COMP5511 课程页。
个人整理的学习笔记，不是官方材料；数字与结论以课件和讲师为准。